基本求导公式与运算法则：把定义法变成计算法

把上期的导数定义一直用于计算，当然可以，但很快会累。比如 按定义展开，代数会拖很长。求导公式的作用，就是把「差商取极限」压缩成一张可靠的计算表；遇到多项式、指数、对数、三角函数时，先认出函数类型，再按规则拆开。

先看最熟的幂函数。 的导数是 ， 的导数是 。如果继续算下去，会发现 的导数总是把指数 放到前面，再把指数减 1。这个规律就是幂函数求导公式。MathWorld 和常见微积分教材都把它列为基本求导公式之一。1

求导时可以把 看成一个「处理器」：输入一个函数，输出它的变化率函数。

下面这些公式先当作工具表使用。它们的根仍然是导数定义

只是教材通常会先证明一次，再把结论收进公式表。Paul's Online Notes 在「Differentiation Formulas」一节中也按「常数、幂函数、和差、常数倍」的顺序引入这些基本规则。2

幂函数公式里的 可以是整数，也可以是分数或负数；但它必须是常数。比如 可以直接用幂函数公式， 暂时不能这样做，因为指数也在变。

如果函数由几块相加或相减组成，可以逐项求导：

如果某一项前面有常数倍，也可以把常数先拿出来：

这两条规则让多项式求导变得很快。比如 ，可以逐项处理，不必整式代入定义。

积和商不能照这个思路硬拆。若 ，，那么 ；但 ，二者并不相等。Paul's Online Notes 用这个例子提醒学生：乘积的导数不是导数的乘积，商的导数也不是导数的商。3

真正该用的是两条专门规则：

乘积法则的口头记忆是「前导后不导，加上前不导后导」。商法则可以记成「下乘上导，减上乘下导，除以下平方」。

求

的导数。

**分析思路：**根式先改写成分数指数，常数项导数为 0。

所以

逐项求导：

也可以把 写回根式：

这里最容易漏掉的是 这个系数。常数倍法则说它要原样保留，再乘上 的导数。

先求

的导数。令 ，，则 ，。由积法则，

再求

的导数。这里 ，，所以 ，。由商法则，

商法则里减号的位置要特别稳：是 ，不是 。

第一，把 求导成 。指数法则是「指数减 1」，所以正确结果是 。

第二，看见分式就急着用商法则。像 更适合先写成 ，再直接用幂函数公式。

第三，把 和 混在一起。 是幂函数，导数是 ； 是指数函数，导数是 。底数和指数谁在变，决定用哪条公式。

今天这一讲先把「公式表 + 四则法则」打牢。下一步再学链式法则，处理 、 这类真正的复合函数。